Maths - bases - 4D

Choosing bases - 4D

I have included a requirement that the bases for the 4D algebras are a superset of the 3D case, so that we can more easily derive G(3,1,0) - for space-time, and G(3,0,1) - for dual quaternions. I'm hoping that this will underpin the pages on dual quaternions and motors.

I have also included the requirement that the reversal is positive.

This gives the following bases:

e one scalar
e1 e2 e3 e4 4 vector bases
e12 e23 e31 e42 e41 e43 6 bivectors
e123 e142 e134 e324 4 trivectors
e1234 one psudoscalar

I have put my earlier attempts to generate the bases on this page.

Do the basis vectors square to +ve, -ve or zero?

Lets try out the following combinations:

category   isomorphic to
G 4,0,0 All vectors square to +ve. Like adding another dimension to 3D space  
G+4,0,0 Even subalgebra of G 4,0,0  
G 3,1,0 3 Vectors square to +ve and one to -ve. For instance 3 vectors for space and one for time.  
G+3,1,0 Even subalgebra of G 3,1,0  
G 1,3,0 The opposite way round to above, that is 3 Vectors square to -ve and one to +ve. This is because its usual in space-time for space to square to -ve and time to square to +ve.  
G+1,3,0 Even subalgebra of G 1,3,0  
G 3,0,1 3 Vectors square to +ve and one to zero.  
G+3,0,1 Even subalgebra of G 3,0,1. Represents the same algebra as dual quaternions dual quaternions

The multiplication table for each of these is derived below:

Vectors square to +ve: G 4,0,0

This corresponds to normal 3 dimensional space with an additional dimension making 4. It can be fully defined by the multiplication table as follows:

a*b
 b.e b.e1 b.e2 b.e3 b.e4 b.e12 b.e31 b.e23 b.e41 b.e42 b.e43 b.e123 b.e142 b.e134 b.e324 b.e1234
a.e e e1 e2 e3 e4 e12 e31 e23 e41 e42 e43 e123 e142 e134 e324 e1234
a.e1 e1 1 e12 -e31 -e41 e2 -e3 e123 e4 e142 -e134 -e23 -e42 e43 e1234 e324
a.e2 e2 -e12 1 e23 -e42 -e1 e123 e3 e142 -e4 e324 e31 e41 e1234 -e43 e134
a.e3 e3 e31 -e23 1 -e43 e123 e1 -e2 e134 e324 e4 -e12 e1234 -e41 e42 -e142
a.e4 e4 e41 e42 e43 1 -e142 e134 e324 -e4 e2 -e3 e1234 e12 e31 e23 -e123
a.e12 e12 -e2 e1 e123 -e142 -1 e23 -e31 -e42 e41 -e1234 e3 -e4 e324 -e134 e43
a.e31 e31 e3 e123 -e1 e134 -e23 -1 e12 e43 -e1234 -e41 e2 -e324 -e4 -e142 e42
a.e23 e23 e123 -e3 e2 e324 e31 -e12 -1 -e1234 -e43 e42 e1 e134 e142 -e4 e41
a.e41 e41 -e4 e142 e134 e1 e42 -e43 -e1234 -1 e12 e31 e324 e2 -e3 e123 -e23
a.e42 e42 e142 e4 e324 -e2 -e41 -e1234 e43 -e12 -1 e23 -e134 e1 -e123 -e3 e31
a.e43 e43 -e134 e324 -e4 e3 -e1234 e41 -e42 -e31 -e23 -1 -e142 e123 e1 -e2 -e12
a.e123 e123 -e23 -e31 -e12 -e1234 e3 e2 e1 -e324 e134 e142 -1 -e43 -e42 -e41 e4
a.e142 e142 -e42 e41 -e1234 e12 -e4 e324 -e134 e2 e1 -e123 -e43 -1 e23 -e31 e3
a.e134 e134 e43 -e1234 -e41 e31 -e324 -e4 e142 -e3 e123 e1 e42 -e23 -1 e12 e2
a.e324 e324 -e1234 -e43 e42 e23 e134 e142 -e4 -e123 -e3 -e2 e41 e31 -e12 -1 e1
a.e1234 e1234 -e324 -e134 e142 e123 e43 e42 e41 -e23 e31 -e12 -e4 -e3 -e2 -e1 1

how these results were generated.

As the above link explains, the table was generated by a computer program from the laws of vector algebra, that is: non-equal vector bases anti-commute and equal vector bases square to scalars (+,- or 0 as required).

Even subalgebra G+4,0,0

By taking just the even grades (scalar,bivector and psudoscalar) we get a valid and closed algebra in its own right:

a*b
 b.e b.e12 b.e31 b.e23 b.e41 b.e42 b.e43 b.e1234
a.e e e12 e31 e23 e41 e42 e43 e1234
a.e12 e12 -1 e23 -e31 -e42 e41 -e1234 e43
a.e31 e31 -e23 -1 e12 e43 -e1234 -e41 e42
a.e23 e23 e31 -e12 -1 -e1234 -e43 e42 e41
a.e41 e41 e42 -e43 e1234 -1 e12 e31 -e23
a.e42 e42 -e41 -e1234 e43 -e12 -1 e23 e31
a.e43 e43 -e1234 e41 -e42 -e31 -e23 -1 -e12
a.e1234 e1234 e43 e42 e41 -e23 e31 -e12 1

On earlier pages we found that G+2,0,0 is equivalent to complex numbers and G+3,0,0 is equivalent to quaternions so is there a pattern here? Is G+4,0,0 related to octonions? I have tried matching with octonions in the second table on this page but the signs are different.

G+4,0,0 octonion
e 1
e12 e1
e31 e2
e23 e3
e41 e4
e42 e5
e43 e6
e1234 e7

So I don't think this is octonion algebra. Can anyone help me with this?

Vectors square to +ve: G 3,1,0

This corresponds to normal 3 dimensional space with an additional dimension, which squares to -ve, making 4. It can be fully defined by the multiplication table as follows:

a*b
 b.e b.e1 b.e2 b.e3 b.e4 b.e12 b.e31 b.e23 b.e41 b.e42 b.e43 b.e123 b.e142 b.e134 b.e324 b.e1234
a.e e e1 e2 e3 e4 e12 e31 e23 e41 e42 e43 e123 e142 e134 e324 e1234
a.e1 e1 1 e12 -e31 -e41 e2 -e3 e123 e4 e142 -e134 -e23 -e42 e43 e1234 e324
a.e2 e2 -e12 1 e23 -e42 -e1 e123 e3 e142 -e4 e324 e31 e41 e1234 -e43 e134
a.e3 e3 e31 -e23 1 -e43 e123 e1 -e2 e134 e324 e4 -e12 e1234 -e41 e42 -e142
a.e4 e4 e41 e42 e43 -1 -e142 e134 e324 e4 -e2 e3 e1234 -e12 -e31 -e23 e123
a.e12 e12 -e2 e1 e123 -e142 -1 e23 -e31 -e42 e41 -e1234 e3 -e4 e324 -e134 e43
a.e31 e31 e3 e123 -e1 e134 -e23 -1 e12 e43 -e1234 -e41 e2 -e324 -e4 -e142 e42
a.e23 e23 e123 -e3 e2 e324 e31 -e12 -1 -e1234 -e43 e42 e1 e134 e142 -e4 e41
a.e41 e41 -e4 e142 e134 -e1 e42 -e43 -e1234 1 -e12 -e31 e324 -e2 e3 -e123 e23
a.e42 e42 e142 e4 e324 e2 -e41 -e1234 e43 e12 1 -e23 -e134 -e1 e123 e3 -e31
a.e43 e43 -e134 e324 -e4 -e3 -e1234 e41 -e42 e31 e23 1 -e142 -e123 -e1 e2 e12
a.e123 e123 -e23 -e31 -e12 -e1234 e3 e2 e1 -e324 e134 e142 -1 -e43 -e42 -e41 e4
a.e142 e142 -e42 e41 -e1234 -e12 -e4 e324 -e134 -e2 -e1 e123 -e43 1 -e23 e31 -e3
a.e134 e134 e43 -e1234 -e41 -e31 -e324 -e4 e142 e3 -e123 -e1 e42 e23 1 -e12 -e2
a.e324 e324 -e1234 -e43 e42 -e23 e134 e142 -e4 e123 e3 e2 e41 -e31 e12 1 -e1
a.e1234 e1234 -e324 -e134 e142 -e123 e43 e42 e41 e23 -e31 e12 -e4 e3 e2 e1 -1

This is similar to the G 4,0,0 table above, except the entries with blue background are inverted.

Even subalgebra G+3,1,0

By taking just the even grades (scalar,bivector and psudoscalar) we get a valid and closed algebra in its own right:

a*b
 b.e b.e12 b.e31 b.e23 b.e41 b.e42 b.e43 b.e1234
a.e e e12 e31 e23 e41 e42 e43 e1234
a.e12 e12 -1 e23 -e31 -e42 e41 -e1234 e43
a.e31 e31 -e23 -1 e12 e43 -e1234 -e41 e42
a.e23 e23 e31 -e12 -1 -e1234 -e43 e42 e41
a.e41 e41 e42 -e43 e1234 1 -e12 -e31 e23
a.e42 e42 -e41 -e1234 e43 e12 1 -e23 -e31
a.e43 e43 -e1234 e41 -e42 e31 e23 1 e12
a.e1234 e1234 e43 e42 e41 e23 -e31 e12 -1

 

Vectors square to +ve: G 3,0,1

This corresponds to normal 3 dimensional space with an additional dimension, which squares to zero, making 4. It can be fully defined by the multiplication table as follows:

a*b
 b.e b.e1 b.e2 b.e3 b.e4 b.e12 b.e31 b.e23 b.e41 b.e42 b.e43 b.e123 b.e142 b.e134 b.e324 b.e1234
a.e e e1 e2 e3 e4 e12 e31 e23 e41 e42 e43 e123 e142 e134 e324 e1234
a.e1 e1 1 e12 -e31 -e41 e2 -e3 e123 e4 e142 -e134 -e23 -e42 e43 e1234 e324
a.e2 e2 -e12 1 e23 -e42 -e1 e123 e3 e142 -e4 e324 e31 e41 e1234 -e43 e134
a.e3 e3 e31 -e23 1 -e43 e123 e1 -e2 e134 e324 e4 -e12 e1234 -e41 e42 -e142
a.e4 e4 e41 e42 e43 0 -e142 e134 e324 0 0 0 e1234 0 0 0 0
a.e12 e12 -e2 e1 e123 -e142 -1 e23 -e31 -e42 e41 -e1234 e3 -e4 e324 -e134 e43
a.e31 e31 e3 e123 -e1 e134 -e23 -1 e12 e43 -e1234 -e41 e2 -e324 -e4 -e142 e42
a.e23 e23 e123 -e3 e2 e324 e31 -e12 -1 -e1234 -e43 e42 e1 e134 e142 -e4 e41
a.e41 e41 -e4 e142 e134 0 e42 -e43 -e1234 0 0 0 e324 0 0 0 0
a.e42 e42 e142 e4 e324 0 -e41 -e1234 e43 0 0 0 -e134 0 0 0 0
a.e43 e43 -e134 e324 -e4 0 -e1234 e41 -e42 0 0 0 -e142 0 0 0 0
a.e123 e123 -e23 -e31 -e12 -e1234 e3 e2 e1 -e324 e134 e142 -1 -e43 -e42 -e41 e4
a.e142 e142 -e42 e41 -e1234 0 -e4 e324 -e134 0 0 0 -e43 0 0 0 0
a.e134 e134 e43 -e1234 -e41 0 -e324 -e4 e142 0 0 0 e42 0 0 0 0
a.e324 e324 -e1234 -e43 e42 0 e134 e142 -e4 0 0 0 e41 0 0 0 0
a.e1234 e1234 -e324 -e134 e142 0 e43 e42 e41 0 0 0 -e4 0 0 0 0

how these results were generated.

As the above link explains, the table was generated by a computer program from the laws of vector algebra, that is: non-equal vector bases anti-commute and equal vector bases square to scalars (+,- or 0 as required).

Even subalgebra G+3,0,1

By taking just the even grades (scalar,bivector and psudoscalar) we get a valid and closed algebra in its own right:

a*b
 b.e b.e12 b.e31 b.e23 b.e41 b.e42 b.e43 b.e1234
a.e e e12 e31 e23 e41 e42 e43 e1234
a.e12 e12 -1 e23 -e31 -e42 e41 -e1234 e43
a.e31 e31 -e23 -1 e12 e43 -e1234 -e41 e42
a.e23 e23 e31 -e12 -1 -e1234 -e43 e42 e41
a.e41 e41 e42 -e43 e1234 0 0 0 0
a.e42 e42 -e41 -e1234 e43 0 0 0 0
a.e43 e43 -e1234 e41 -e42 0 0 0 0
a.e1234 e1234 e43 e42 e41 0 0 0 0

This algebra is equivalent to the algebra of dual quaternions as explained on this page. The dimensions are related as follows:

G+ 3,0,1
dual quaternion
e 1
e12 i
e31 j
e23 k
e41 kε
e42 jε
e43 iε
e1234 1ε

 

metadata block
see also:

 
Correspondence about this page

Book Shop - Further reading.

Where I can, I have put links to Amazon for books that are relevant to the subject, click on the appropriate country flag to get more details of the book or to buy it from them.
flag flag flag flag flag flag Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics (Fundamental Theories of Physics). This book is intended for mathematicians and physicists rather than programmers, it is very theoretical. It covers the algebra and calculus of multivectors of any dimension and is not specific to 3D modelling.

 

Terminology and Notation

Specific to this page here:

 

This site may have errors. Don't use for critical systems.

Copyright (c) 1998-2023 Martin John Baker - All rights reserved - privacy policy.