Prerequisites
The concepts are explained here:
4 dimensional inverse
public final void invert(Matrix4d m1) {
m00 = m12*m23*m31 - m13*m22*m31 + m13*m21*m32 - m11*m23*m32 - m12*m21*m33 + m11*m22*m33;
m01 = m03*m22*m31 - m02*m23*m31 - m03*m21*m32 + m01*m23*m32 + m02*m21*m33 - m01*m22*m33;
m02 = m02*m13*m31 - m03*m12*m31 + m03*m11*m32 - m01*m13*m32 - m02*m11*m33 + m01*m12*m33;
m03 = m03*m12*m21 - m02*m13*m21 - m03*m11*m22 + m01*m13*m22 + m02*m11*m23 - m01*m12*m23;
m10 = m13*m22*m30 - m12*m23*m30 - m13*m20*m32 + m10*m23*m32 + m12*m20*m33 - m10*m22*m33;
m11 = m02*m23*m30 - m03*m22*m30 + m03*m20*m32 - m00*m23*m32 - m02*m20*m33 + m00*m22*m33;
m12 = m03*m12*m30 - m02*m13*m30 - m03*m10*m32 + m00*m13*m32 + m02*m10*m33 - m00*m12*m33;
m13 = m02*m13*m20 - m03*m12*m20 + m03*m10*m22 - m00*m13*m22 - m02*m10*m23 + m00*m12*m23;
m20 = m11*m23*m30 - m13*m21*m30 + m13*m20*m31 - m10*m23*m31 - m11*m20*m33 + m10*m21*m33;
m21 = m03*m21*m30 - m01*m23*m30 - m03*m20*m31 + m00*m23*m31 + m01*m20*m33 - m00*m21*m33;
m22 = m01*m13*m30 - m03*m11*m30 + m03*m10*m31 - m00*m13*m31 - m01*m10*m33 + m00*m11*m33;
m23 = m03*m11*m20 - m01*m13*m20 - m03*m10*m21 + m00*m13*m21 + m01*m10*m23 - m00*m11*m23;
m30 = m12*m21*m30 - m11*m22*m30 - m12*m20*m31 + m10*m22*m31 + m11*m20*m32 - m10*m21*m32;
m31 = m01*m22*m30 - m02*m21*m30 + m02*m20*m31 - m00*m22*m31 - m01*m20*m32 + m00*m21*m32;
m32 = m02*m11*m30 - m01*m12*m30 - m02*m10*m31 + m00*m12*m31 + m01*m10*m32 - m00*m11*m32;
m33 = m01*m12*m20 - m02*m11*m20 + m02*m10*m21 - m00*m12*m21 - m01*m10*m22 + m00*m11*m22;
scale(1/m1.determinant());
}
public double determinant() {
double value;
value =
m03*m12*m21*m30 - m02*m13*m21*m30 - m03*m11*m22*m30 + m01*m13*m22*m30+
m02*m11*m23*m30 - m01*m12*m23*m30 - m03*m12*m20*m31 + m02*m13*m20*m31+
m03*m10*m22*m31 - m00*m13*m22*m31 - m02*m10*m23*m31 + m00*m12*m23*m31+
m03*m11*m20*m32 - m01*m13*m20*m32 - m03*m10*m21*m32 + m00*m13*m21*m32+
m01*m10*m23*m32 - m00*m11*m23*m32 - m02*m11*m20*m33 + m01*m12*m20*m33+
m02*m10*m21*m33 - m00*m12*m21*m33 - m01*m10*m22*m33 + m00*m11*m22*m33;
return value;
}
Speed Optimisation
The above program is valid for a general 4×4 matrix which will work in all circumstances but when the matrix is being used to represent a combined rotation and translation (as described on this page) then the matrix carries a lot of redundant information. So if we want to speed up the code on this page then, for this case only, we can take advantage of this redundant information.
- to invert a pure rotation then we just take the transpose of the 3x3 part of the matrix.
- to invert a pure translation the we just negate the translation
So for a combined rotation and translation then we should be able to combine these but with some compensation for the rotation of the translation direction.
Calculator
The following calculator allows you to calculate the inverse for a 4×4 matrix. Enter the values into the matrix and then press "calc inverse " to display the result:
Code - 4 dimensional inverse
public final void invert(Matrix4d m1) {
m00 = m12*m23*m31 - m13*m22*m31 + m13*m21*m32 - m11*m23*m32 - m12*m21*m33 + m11*m22*m33;
m01 = m03*m22*m31 - m02*m23*m31 - m03*m21*m32 + m01*m23*m32 + m02*m21*m33 - m01*m22*m33;
m02 = m02*m13*m31 - m03*m12*m31 + m03*m11*m32 - m01*m13*m32 - m02*m11*m33 + m01*m12*m33;
m03 = m03*m12*m21 - m02*m13*m21 - m03*m11*m22 + m01*m13*m22 + m02*m11*m23 - m01*m12*m23;
m10 = m13*m22*m30 - m12*m23*m30 - m13*m20*m32 + m10*m23*m32 + m12*m20*m33 - m10*m22*m33;
m11 = m02*m23*m30 - m03*m22*m30 + m03*m20*m32 - m00*m23*m32 - m02*m20*m33 + m00*m22*m33;
m12 = m03*m12*m30 - m02*m13*m30 - m03*m10*m32 + m00*m13*m32 + m02*m10*m33 - m00*m12*m33;
m13 = m02*m13*m20 - m03*m12*m20 + m03*m10*m22 - m00*m13*m22 - m02*m10*m23 + m00*m12*m23;
m20 = m11*m23*m30 - m13*m21*m30 + m13*m20*m31 - m10*m23*m31 - m11*m20*m33 + m10*m21*m33;
m21 = m03*m21*m30 - m01*m23*m30 - m03*m20*m31 + m00*m23*m31 + m01*m20*m33 - m00*m21*m33;
m22 = m01*m13*m30 - m03*m11*m30 + m03*m10*m31 - m00*m13*m31 - m01*m10*m33 + m00*m11*m33;
m23 = m03*m11*m20 - m01*m13*m20 - m03*m10*m21 + m00*m13*m21 + m01*m10*m23 - m00*m11*m23;
m30 = m12*m21*m30 - m11*m22*m30 - m12*m20*m31 + m10*m22*m31 + m11*m20*m32 - m10*m21*m32;
m31 = m01*m22*m30 - m02*m21*m30 + m02*m20*m31 - m00*m22*m31 - m01*m20*m32 + m00*m21*m32;
m32 = m02*m11*m30 - m01*m12*m30 - m02*m10*m31 + m00*m12*m31 + m01*m10*m32 - m00*m11*m32;
m33 = m01*m12*m20 - m02*m11*m20 + m02*m10*m21 - m00*m12*m21 - m01*m10*m22 + m00*m11*m22;
scale(1/m1.determinant());
}
public double determinant() {
double value;
value =
m03*m12*m21*m30 - m02*m13*m21*m30 - m03*m11*m22*m30 + m01*m13*m22*m30+
m02*m11*m23*m30 - m01*m12*m23*m30 - m03*m12*m20*m31 + m02*m13*m20*m31+
m03*m10*m22*m31 - m00*m13*m22*m31 - m02*m10*m23*m31 + m00*m12*m23*m31+
m03*m11*m20*m32 - m01*m13*m20*m32 - m03*m10*m21*m32 + m00*m13*m21*m32+
m01*m10*m23*m32 - m00*m11*m23*m32 - m02*m11*m20*m33 + m01*m12*m20*m33+
m02*m10*m21*m33 - m00*m12*m21*m33 - m01*m10*m22*m33 + m00*m11*m22*m33;
return value;
}
