As explaned on this page we can build up these division algebras into more and more complex algebras by combining these in different ways using the Kronecker product and then , this will allow us to generate all of the Clifford algebras.
For example we could generate the quaternions from C
C
Table for: octonion
(CC)C
| a*b | b.e | b.e1 | b.e2 | b.e3 | b.e4 | b.e5 | b.e6 | b.e7 |
| a.e | e | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
| a.e1 | e1 | -e | e3 | -e2 | e5 | -e4 | e7 | -e6 |
| a.e2 | e2 | -e3 | -e | e1 | e6 | -e7 | -e4 | e5 |
| a.e3 | e3 | e2 | -e1 | -e | e7 | e6 | -e5 | -e4 |
| a.e4 | e4 | -e5 | -e6 | -e7 | -e | e1 | e2 | e3 |
| a.e5 | e5 | e4 | -e7 | e6 | -e1 | -e | e3 | -e2 |
| a.e6 | e6 | e7 | e4 | -e5 | -e2 | -e3 | -e | e1 |
| a.e7 | e7 | -e6 | e5 | e4 | -e3 | e2 | -e1 | -e |
analysing commutivity: table does not commute: for example: e1*e2 != e2*e1
analysing associativity: table does not associate, for example, (e4* e1)* e2=-e5* e2=e7 is not equal to e4*(e1* e2)=e4*e3=-e7
how these results were generated.
compare with fano plane:
.
a*b |
b.1 | b.e1 | b.e2 | b.e3 | b.e4 | b.e5 | b.e6 | b.e7 |
| a.1 | 1 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
| a.e1 | e1 | -1 | -e3 | e2 | -e5 | e4 | e7 | -e6 |
| a.e2 | e2 | e3 | -1 | -e1 | -e6 | -e7 | e4 | e5 |
| a.e3 | e3 | -e2 | e1 | -1 | -e7 | e6 | -e5 | e4 |
| a.e4 | e4 | e5 | e6 | e7 | -1 | -e1 | -e2 | -e3 |
| a.e5 | e5 | -e4 | e7 | -e6 | e1 | -1 | e3 | -e2 |
| a.e6 | e6 | -e7 | -e4 | e5 | e2 | -e3 | -1 | e1 |
| a.e7 | e7 | e6 | -e5 | -e4 | e3 | e2 | -e1 | -1 |
Table for: octonion
C(CC)
| a*b | b.e | b.e1 | b.e2 | b.e3 | b.e4 | b.e5 | b.e6 | b.e7 |
| a.e | e | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
| a.e1 | e1 | -e | e3 | -e2 | e5 | -e4 | e7 | -e6 |
| a.e2 | e2 | -e3 | -e | e1 | e6 | -e7 | -e4 | e5 |
| a.e3 | e3 | e2 | -e1 | -e | e7 | e6 | -e5 | -e4 |
| a.e4 | e4 | -e5 | -e6 | e7 | -e | e1 | e2 | -e3 |
| a.e5 | e5 | e4 | -e7 | -e6 | -e1 | -e | e3 | e2 |
| a.e6 | e6 | -e7 | e4 | -e5 | -e2 | e3 | -e | e1 |
| a.e7 | e7 | e6 | e5 | e4 | -e3 | -e2 | -e1 | -e |
analysing commutivity: table does not commute: for example: e1*e2 != e2*e1
analysing associativity: table does not associate, for example, (e2* e4)* e1=e6* e1=-e7 is not equal to e2*(e4* e1)=e2*-e5=e7
how these results were generated.
.
a*b |
b.1 | b.e1 | b.e2 | b.e3 | b.e4 | b.e5 | b.e6 | b.e7 |
| a.1 | 1 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
| a.e1 | e1 | -1 | -e3 | e2 | -e5 | e4 | e7 | -e6 |
| a.e2 | e2 | e3 | -1 | -e1 | -e6 | -e7 | e4 | e5 |
| a.e3 | e3 | -e2 | e1 | -1 | -e7 | e6 | -e5 | e4 |
| a.e4 | e4 | e5 | e6 | e7 | -1 | -e1 | -e2 | -e3 |
| a.e5 | e5 | -e4 | e7 | -e6 | e1 | -1 | e3 | -e2 |
| a.e6 | e6 | -e7 | -e4 | e5 | e2 | -e3 | -1 | e1 |
| a.e7 | e7 | e6 | -e5 | -e4 | e3 | e2 | -e1 | -1 |
From Fano Plane
a*b |
b.1 | b.e1 | b.e2 | b.e3 | b.e4 | b.e5 | b.e6 | b.e7 |
| a.1 | 1 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
| a.e1 | e1 | -1 | e4 | e7 | -e2 | e6 | -e5 | -e3 |
| a.e2 | e2 | -e4 | -1 | e5 | e1 | -e3 | e7 | -e6 |
| a.e3 | e3 | -e7 | -e5 | -1 | e6 | e2 | -e4 | e1 |
| a.e4 | e4 | e2 | -e1 | -e6 | -1 | e7 | e3 | -e5 |
| a.e5 | e5 | -e6 | e3 | -e2 | -e7 | -1 | e1 | e4 |
| a.e6 | e6 | e5 | -e7 | e4 | -e3 | -e1 | -1 | e2 |
| a.e7 | e7 | e3 | e6 | -e1 | e5 | -e4 | -e2 | -1 |
